2008 年考研数学（一） 第 15 题

见到嵌套的 $\sin (\sin x)$，直接展开会乱，应先分离 $\frac{\sin x}{x}\to 1$ 把 $x^4$ 降一阶，再换元 $t=\sin x$ 化成标准型 $\frac{t-\sin t}{t^3}$。这一步的动机是把复合结构变成熟知的 $u-\sin u\sim \frac{1}{6}{u}^3$，此后用泰勒或洛必达都水到渠成。

分析。 这是 $\frac{0}{0}$ 型极限。分子中 $\sin x-\sin (\sin x)$ 是两个『相差三阶无穷小』的量之差，宜用换元或泰勒公式处理。

方法一（换元 + 等价无穷小）。 先分离出 $\frac{\sin x}{x}\to 1$，再把分母的 $x^3$ 换成 ${\sin }^{3}x$：$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{x^4}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\sin (\sin x)}{x^3}\cdot \frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\sin (\sin x)}{{\sin }^{3}x}.$$

令 $t=\sin x(t\to 0)$，则 $$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t-\sin t}{t^3}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1-\cos t}{3t^2}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{t}^2}{3t^2}=\frac{1}{6}.$$

方法二（泰勒公式）。 由 $\sin u=u-\frac{u^3}{3!}+o(u^3)$，取 $u=\sin x$ 得 $\sin (\sin x)=\sin x-\frac{{\sin }^{3}x}{6}+o({\sin }^{3}x)$，故 $\sin x-\sin (\sin x)\sim \frac{1}{6}{\sin }^{3}x\sim \frac{1}{6}{x}^3$。因此 $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{x^4}=\frac{1}{6}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3\cdot x}{x^4}=\frac{1}{6}.$$

综上，原极限 $=\frac{1}{6}$。