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2008 年考研数学（一）第 14 题

填空题 · 4 分

设随机变量

X

服从参数为

1

的泊松分布，则

P {X = E (X^{2})} =

______.

提示 1

先算

E (X^{2})

，用

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2}

，而泊松分布的期望与方差都等于参数。

提示 2

求出

E (X^{2})

是个具体整数后，问题就化为求

P {X = 该整数}

。

提示 3

代入泊松分布律

P {X = k} = \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ}

计算。

答案与详解

答案 $\frac{1}{2 e}$

思路（为什么这么做）

题目把数字特征藏进事件里，先破

E (X^{2})

：用方差公式加上泊松分布『均值=方差=参数』这一特性，算得

E (X^{2}) = 1 + 1 = 2

。于是所求概率即

P {X = 2}

，直接代泊松分布律即可。

解答

本题考查泊松分布的数字特征。 先用

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2}

求出

E (X^{2})

，再代入泊松分布的分布律。

由

X \sim P (1)

，参数

λ = 1

，故

E (X) = D (X) = 1

，从而

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2} = 1 + 1 = 2

。

于是

P {X = E (X^{2})} = P {X = 2} = \frac{1 ^{2}}{2 !} e^{- 1} = \frac{1}{2 e}

。

考点：常见离散分布（二项、泊松、几何等）、数学期望、方差

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