2008 年考研数学（一） 第 13 题

抓住特征值定义即可：$\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_1=0\cdot {\mathbf{\alpha }}_1$ 直接暴露特征值 $0$。要找非零特征值，就去凑一个『被 $\mathbf{A}$ 作用后方向不变』的向量——注意 $\mathbf{A}(2{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)=2{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2$，恰是自身的 $1$ 倍，故非零特征值为 $1$。也可把关系写成 $\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{P}\mathbf{B}$ 相似成二阶小矩阵求特征值。

本题考查特征值的概念。 利用给定的矩阵作用关系直接找特征向量与特征值，或作相似变换后计算。

方法一（相似）。 令 $\mathbf{P}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)$，因 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性无关，$\mathbf{P}$ 可逆。由 $\mathbf{A}\mathbf{P}=(0,2{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)=\mathbf{P}\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$，得 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$，故 $\mathbf{A}$ 的特征值即该矩阵的特征值 $\lambda =0,1$，非零特征值为 $1$。

方法二（定义）。 由 $\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_1=0=0\cdot {\mathbf{\alpha }}_1$ 知 ${\lambda }_1=0$ 是特征值。又 $\mathbf{A}(2{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)=2\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_1+\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_2=2{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2=1\cdot (2{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)$，而 $2{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2\ne 0$，故 ${\lambda }_2=1$ 是另一特征值。所以非零特征值为 $1$。