2008 年考研数学（一） 第 12 题

第二类曲面积分遇非闭合曲面，标准套路是『补面 + 高斯公式』。补一块底面圆盘凑成闭曲面，散度体积分因区域关于 $y=0$ 对称、被积 $y$ 为奇函数而为零；真正的贡献来自补面上的 $x^{2}dxdy$ 项，用 $x^2$ 与 $y^2$ 的轮换对称化成 $\frac{1}{2}(x^2+y^2)$ 再极坐标积分。最后减去补面积分（注意其取向为下侧）即得。

本题考查第二类曲面积分与高斯公式。 $\Sigma$ 是上半球面（上侧），非闭合，补一块底面构成闭曲面后用高斯公式。

补充 ${\Sigma }_0:z=0(x^2+y^2\le 4)$，取下侧，则 $\Sigma +{\Sigma }_0$ 为闭曲面外侧，围成上半球体 $\Omega$。由高斯公式 $${\iint }_{\Sigma +{\Sigma }_0}xydydz+xdzdx+x^{2}dxdy={\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial (xy)}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial y}+\frac{\partial (x^2)}{\partial z}\right)dv={\iiint }_{\Omega }ydv=0,$$ 最后一步因 $\Omega$ 关于 $y=0$ 对称、被积函数 $y$ 为奇函数。

而在 ${\Sigma }_0$（下侧，$z=0$）上只有 $dxdy$ 项不为零：$${\iint }_{{\Sigma }_0}{x}^{2}dxdy=-{\iint }_D{x}^{2}dxdy=-\frac{1}{2}{\iint }_D(x^2+y^2)dxdy=-\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^2{r}^{3}dr=-4\pi ,$$ 其中 $D:x^2+y^2\le 4$，用了对称性 ${\iint }_D{x}^2={\iint }_D{y}^2$。

故 ${\iint }_{\Sigma }={\iint }_{\Sigma +{\Sigma }_0}-{\iint }_{{\Sigma }_0}=0-(-4\pi )=4\pi$。