2008 年考研数学（一） 第 11 题

三个幂级数共用同一串系数 $a_n$，所以先还原基准级数 $\sum a_n{t}^n$ 的收敛域是关键。用阿贝尔定理：$t=2$ 处收敛 $\Rightarrow R\ge 2$，$t=-2$ 处发散 $\Rightarrow R\le 2$，于是 $R=2$ 且右端点收敛、左端点发散。再把 $t=x-3$ 代回平移区间，端点开闭随之搬移。

本题考查阿贝尔定理与收敛半径。 先由已知条件定出基准幂级数 $\sum a_n{x}^n$ 的收敛半径与收敛域，再作平移。

$\sum a_n(x+2{)}^n$ 在 $x=0$（即 $x+2=2$）收敛，故 $\sum a_n{x}^n$ 的收敛半径 $R\ge 2$，且 $\sum a_n{2}^n$ 收敛；在 $x=-4$（即 $x+2=-2$）发散，故 $R\le 2$，且 $\sum a_n(-2{)}^n$ 发散。

于是 $\sum a_n{x}^n$ 的收敛半径 $R=2$，收敛域为 $(-2,2]$（右端点收敛、左端点发散）。

对 $\sum a_n(x-3{)}^n$，令 $-2<x-3\le 2$，得 $1<x\le 5$，即收敛域为 $(1,5]$。