2008 年考研数学（一） 第 10 题

隐函数上一点的切线，核心是隐函数求导得斜率。技巧在于『先求导、后代点』：不必解出 $y^{\prime }$ 的完整表达式，代入 $x=0,y=1$ 后方程大幅简化，直接解出斜率。有斜率与切点，点斜式即成。

本题考查隐函数求导与切线方程。 对方程两边关于 $x$ 求导得 $\frac{dy}{dx}$，代入点 $(0,1)$ 求出斜率，再用点斜式写切线。

两边对 $x$ 求导：$\cos (xy)\cdot \left(y+x\frac{dy}{dx}\right)+\frac{\frac{dy}{dx}-1}{y-x}=1$。

将 $x=0,y=1$ 代入：$\cos 0\cdot (1+0)+\frac{y^{\prime }-1}{1}=1$，即 $1+(y^{\prime }-1)=1$，得 ${\frac{dy}{dx}|}_{(0,1)}=1$。

故切线方程为 $y-1=1\cdot (x-0)$，即 $y=x+1$。