2008 年考研数学（一） 第 9 题

方程结构 $x{y}^{\prime }+y$ 本身是提示信号：它正是乘积的导数 $(xy{)}^{\prime }$，于是方程变成 $(xy{)}^{\prime }=0$，两边积分立得 $xy=C$，比套线性公式更快。分离变量或一阶线性通解公式也殊途同归；最后用初值定常数。

本题考查一阶线性（可分离变量）微分方程。 方程可写成全微分形式直接积分，也可用一阶线性方程通解公式。

方法一。 由 $x{y}^{\prime }+y=0$ 得 $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=0$，解得 $y=C{\mathrm{e}}^{-\int \frac{1}{x}dx}=\frac{C}{x}$。代入 $y(1)=1$ 得 $C=1$，故 $y=\frac{1}{x}$。

方法二。 注意 $x{y}^{\prime }+y=(xy{)}^{\prime }$，故 $(xy{)}^{\prime }=0$，即 $xy=C$。由 $y(1)=1$ 得 $C=1$，所以特解为 $y=\frac{1}{x}$。