2008 年考研数学（一） 第 8 题

见到 ${\rho }_{XY}=\pm 1$ 就要想到『退化为线性关系』$P\{Y=aX+b\}=1$ 这一充要条件，且 $\rho =1$ 逼着 $a>0$，一步排除负斜率选项。剩下的 $a,b$ 不必推导协方差，用标准差之比给 $a$、用期望匹配给 $b$ 即可快速定出。

本题考查相关系数为 $\pm 1$ 的充要条件。 ${\rho }_{XY}=1$ 当且仅当 $X,Y$ 以概率 $1$ 满足正斜率线性关系 $Y=aX+b(a>0)$；再用期望、标准差定出 $a,b$。

${\rho }_{XY}=1$ 的充要条件是 $P\{Y=aX+b\}=1$，其中 $a>0$，故可排除斜率为负的 A、C。

由标准差之比得 $a=\frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}=\frac{2}{1}=2$；再由 $E(Y)=aE(X)+b$，即 $1=2\cdot 0+b$，得 $b=1$。也可直接验证 $E(2X+1)=1=E(Y)$。

故 $P\{Y=2X+1\}=1$，应选 D。