2008 年考研数学（一） 第 7 题

求 $\max$ 的分布，套路是把 $\{\max \{X,Y\}\le z\}$ 改写为 $\{X\le z,Y\le z\}$——因为最大值不超过 $z$ 当且仅当每个都不超过。再借独立同分布拆成 $F(x)\cdot F(x)$。同时用『分布函数是一元函数』这一常识排除掉带 $y$ 的干扰项。

本题考查最大值的分布函数。 用分布函数定义 $F_Z(x)=P\{Z\le x\}$，并把 $\max$ 的事件转化为两个变量同时不超过 $x$。

由分布函数定义，$F_Z(x)=P\{Z\le x\}=P\{\max \{X,Y\}\le x\}=P\{X\le x,Y\le x\}$。

由 $X,Y$ 独立同分布，$F_Z(x)=P\{X\le x\}P\{Y\le x\}=F(x)\cdot F(x)=F^2(x)$。应选 A。（注意 $Z$ 的分布函数只应含一个变量 $x$，故排除含 $y$ 的 B、D。）