2008 年考研数学（一） 第 6 题

关键认识是正交变换保持惯性指数，所以『正特征值个数 = 标准方程中正系数项个数』。因此把图形翻译成标准方程是破题第一步：双叶双曲面沿某轴开口，标准形为一正两负，正惯性指数为 $1$，即恰有一个正特征值。

本题由二次曲面图形判断特征值符号。 正交变换将二次型化为标准形，标准形中系数的正负个数即正、负特征值个数，而这些符号决定二次曲面的类型。

图中曲面是双叶双曲面，它由双曲线 $L:\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\\ z=0\end{array}$ 绕 $x$ 轴旋转一周而成，曲面方程为 $\Sigma :\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{b^2}=1$。

该标准方程中平方项系数为一正两负，即正交变换后二次型的正惯性指数为 $1$、负惯性指数为 $2$。由于正交变换下二次型的正、负惯性指数不变，故 $\mathbf{A}$ 的正特征值个数为 $1$，应选 B。