2008 年考研数学（一） 第 5 题

条件 ${\mathbf{A}}^3=\mathbf{O}$（幂零）是核心信号，它让高次项消失，于是模仿立方差/立方和的因式分解 $\mathbf{E}-{\mathbf{A}}^3=(\mathbf{E}-\mathbf{A})(\mathbf{E}+\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^2)$，就能人为造出 $\mathbf{E}$，直接证得可逆并给出逆矩阵。也可从特征值角度想：幂零矩阵特征值全为 $0$，故 $\mathbf{E}\pm \mathbf{A}$ 特征值全为 $1$、行列式非零。

本题考查可逆矩阵的定义。 利用因式分解构造出 $(\mathbf{E}\mp \mathbf{A})$ 的逆矩阵即可。

由 ${\mathbf{A}}^3=\mathbf{O}$，得 $\mathbf{E}=\mathbf{E}-{\mathbf{A}}^3=(\mathbf{E}-\mathbf{A})(\mathbf{E}+\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^2)$，由可逆矩阵定义知 $\mathbf{E}-\mathbf{A}$ 可逆，且 $(\mathbf{E}-\mathbf{A}{)}^{-1}=\mathbf{E}+\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^2$。

又 $\mathbf{E}=\mathbf{E}+{\mathbf{A}}^3=(\mathbf{E}+\mathbf{A})(\mathbf{E}-\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^2)$，故 $\mathbf{E}+\mathbf{A}$ 可逆，且 $(\mathbf{E}+\mathbf{A}{)}^{-1}=\mathbf{E}-\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^2$。

另解（特征值）。 由 ${\mathbf{A}}^3=\mathbf{O}$ 知 $\mathbf{A}$ 的特征值全为 $0$，于是 $\mathbf{E}-\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{E}+\mathbf{A}$ 的特征值全为 $1$，行列式均为 $1\ne 0$，故二者都可逆。综上应选 C。