2008 年考研数学（一） 第 4 题

看到『单调有界』字样，立刻联想单调有界准则——这是判断数列收敛的唯一确定性工具。正面选项须同时具备单调与有界：$f$ 单调使 $f(x_n)$ 随 $x_n$ 单调，$f$ 有界使其有界，于是收敛。其余选项都缺一环，用分段或振荡型反例逐一击破。

本题考查单调有界准则。 抓住『单调有界数列必收敛』这一准则，并用反例排除其余选项。

正面论证（B）。 因为 $f(x)$ 单调，所以当 $\{x_n\}$ 单调时 $\{f(x_n)\}$ 也单调；又因为 $f(x)$ 有界，所以 $\{f(x_n)\}$ 单调有界，由单调有界准则知 $\{f(x_n)\}$ 收敛。故 B 正确。

反例排除。 取 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ 1,& x>0\end{array}$（单调增加、有界），$x_n=\frac{(-1{)}^n}{n^2}$，则 $\{x_n\}$ 收敛，但 $f(x_n)$ 在 $-1,1$ 间振荡不收敛，A 错。

取 $f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}$，$x_n=n$，则 $f(x_n)=\frac{n^2}{1+n^2}\to 1$ 收敛，但 $\{x_n\}$ 发散，C 错。

取 $f(x)=\arctan x$，$x_n=n$，则 $\{f(x_n)\}$ 单调增加，但 $\{x_n\}$ 发散，D 错。综上应选 B。