2008 年考研数学（一） 第 3 题

这是『由通解反推方程』的逆问题，钥匙是通解与特征根一一对应：指数项给实根、正余弦项给共轭虚根。把三个特征根乘成特征多项式，再把 ${\lambda }^k$ 换成 $y^{(k)}$ 就得到方程；展开时留意各项符号，正好用来排除系数不符的选项。

本题由通解反求微分方程。 通解含三个任意常数，对应三阶常系数齐次线性微分方程，由通解形式确定特征根，再写出特征方程与微分方程。

由通解 $y=C_1{\mathrm{e}}^x+C_2\cos 2x+C_3\sin 2x$，得特征根为 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_{2,3}=\pm 2\mathrm{i}$。

于是特征方程为 $(\lambda -1)({\lambda }^2+4)=0$，即 ${\lambda }^3-{\lambda }^2+4\lambda -4=0$。

故所求微分方程为 $y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }+4y^{\prime }-4y=0$，应选 D。