2008 年考研数学（一） 第 2 题

题目直接问梯度，套定义 $\mathrm{grad}f=(f_x,f_y)$ 即可，核心是把 $\arctan \frac{x}{y}$ 的复合结构求导理清。先求一般点偏导再代入具体点，比先代值再求导更稳妥；代入 $(0,1)$ 后一个分量为 $1$、一个为 $0$，方向随即确定。

本题考查梯度的计算。 梯度 $\mathrm{grad}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$，先分别求两个偏导数，再代入点 $(0,1)$。

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{1+\frac{x^2}{y^2}}\cdot \frac{1}{y}=\frac{y}{x^2+y^2},\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{1+\frac{x^2}{y^2}}\cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right)=-\frac{x}{x^2+y^2}.$$

代入点 $(0,1)$：${\frac{\partial f}{\partial x}|}_{(0,1)}=1$，${\frac{\partial f}{\partial y}|}_{(0,1)}=0$。故 $f(x,y)$ 在 $(0,1)$ 处的梯度为 $\mathbf{i}$，应选 A。