2008 年考研数学（一） 第 1 题

看到变限积分又问导函数零点，第一反应就是用变限积分求导公式把 $f^{\prime }(x)$ 写出来；由于上限是 $x^2$，别忘乘上 $(x^2{)}^{\prime }=2x$。求得乘积形式后，零点问题化为『哪个因子可能为零』——注意对数因子的真数恒 $\ge 2$，天然大于 $1$，于是只剩线性因子决定零点个数。

本题考查变限积分求导。 上限为 $x^2$，被积函数为 $\ln (2+t)$，由变限积分求导法则并结合复合函数链式法则求 $f^{\prime }(x)$，再判断其零点。

$$f^{\prime }(x)=\ln (2+x^2)\cdot \frac{d}{dx}(x^2)=2x\ln (2+x^2).$$

由于 $2+x^2\ge 2$，故 $\ln (2+x^2)\ge \ln 2>0$ 恒成立，从而 $f^{\prime }(x)=0$ 当且仅当 $2x=0$，即 $x=0$。因此 $f^{\prime }(x)$ 只有一个零点，应选 B。