2007 年考研数学（一） 第 8 题

实对称矩阵的“合同”与“相似”判据不同，本题正考这一区别。相似要求谱完全一致，而 $A$ 的谱 $\{0,3,3\}$ 与 $B$ 的 $\{0,1,1\}$ 不同，故不相似；但两者都是“两正一零”，正负惯性指数相同，故合同。先算出 $A$ 的特征值 $0,3,3$ 是全题关键。

本题考查实对称矩阵的合同与相似关系。 先求 $A$ 的特征值：$|\lambda E-A|=\lambda (\lambda -3{)}^2$，故 $A$ 的特征值为 $0,3,3$；$B$ 的特征值显然为 $1,1,0$。$A,B$ 都是实对称矩阵。

相似： 相似要求特征值相同，而 $A$ 的特征值 $\{0,3,3\}$ 与 $B$ 的 $\{1,1,0\}$ 不同，故 $A$ 与 $B$ 不相似。

合同： 实对称矩阵合同 $⟺$ 正、负惯性指数相同。$A$ 有 $2$ 个正特征值、$0$ 个负特征值，$B$ 亦然，正负惯性指数相同，故 $A$ 与 $B$ 合同。

综上，$A$ 与 $B$ 合同但不相似，应选 B。