2007 年考研数学（一） 第 7 题

因 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 无关，新组是否相关只取决于过渡矩阵的行列式。捷径是先找“三向量相加为零”的那组：$({\alpha }_1-{\alpha }_2)+({\alpha }_2-{\alpha }_3)+({\alpha }_3-{\alpha }_1)=0$ 立刻暴露相关性，对应行列式为 $0$。其余循环加或带系数的组，行列式形如 $1\pm k^3$ 之类非零，故仍无关。

本题考查向量组的线性相关性。 对 (A)：$({\alpha }_1-{\alpha }_2)+({\alpha }_2-{\alpha }_3)+({\alpha }_3-{\alpha }_1)=0$，存在系数不全为零的线性组合等于零向量，故 ${\alpha }_1-{\alpha }_2,{\alpha }_2-{\alpha }_3,{\alpha }_3-{\alpha }_1$ 线性相关。

对 (B)(C)(D)，将新向量组写成 $({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 乘以过渡矩阵，其行列式分别为 $2,-7,9$，均非零，故过渡矩阵可逆，秩不变，这三组仍线性无关。

应选 A。