2007 年考研数学（一） 第 6 题

破题点是“$\Gamma$ 在 $L$ 上”这句话——它让 $f\equiv 1$，把两个看似复杂的积分化成 $\int dx=x_N-x_M$、$\int dy=y_N-y_M$，只需看端点坐标符号。$M$ 在第 II 象限、$N$ 在第 IV 象限，故 $x$ 增大（正）、$y$ 减小（负）。再认出 D 是恰当微分 ${\int }_{\Gamma }df=f(N)-f(M)=0$，四项符号全定，唯 B 为负。

本题考查对坐标的曲线积分的符号。 因 $L:f(x,y)=1$，在 $\Gamma$ 上恒有 $f(x,y)\equiv 1$，于是 ${\int }_{\Gamma }fdx={\int }_{\Gamma }dx$，${\int }_{\Gamma }fdy={\int }_{\Gamma }dy$。

$M$ 在第 II 象限（$x_M<0,y_M>0$），$N$ 在第 IV 象限（$x_N>0,y_N<0$）。沿 $\Gamma$ 从 $M$ 到 $N$：${\int }_{\Gamma }dx=x_N-x_M>0$，${\int }_{\Gamma }dy=y_N-y_M<0$。

逐项判断：(A) ${\int }_{\Gamma }fdx>0$；(B) ${\int }_{\Gamma }fdy<0$；(C) ${\int }_{\Gamma }fds=$ 弧长 $>0$；(D) ${\int }_{\Gamma }{f}_x^{\prime }dx+f_y^{\prime }dy={\int }_{\Gamma }df=f(N)-f(M)=1-1=0$。只有 (B) 小于零，应选 B。