2007 年考研数学（一） 第 5 题

关键信号是 $f^{\prime \prime }>0\Rightarrow f^{\prime }$ 单调增。于是 $u_{n+1}-u_n=f^{\prime }({\xi }_n)$ 随 $n$ 不减；一旦 $u_2-u_1>0$，此后每步增量都 $\ge u_2-u_1>0$，数列被一条正斜率直线顶到 $+\infty$ 必发散——这正面证明了 D。其余选项没有“下有正界”的保证，用不同凸函数举反例即可推翻。

本题考查凸函数与数列极限。 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 表明 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 上是凸函数，其导数 $f^{\prime }$ 单调增加。

正面论证 (D)： 若 $u_1<u_2$，即 $f(2)-f(1)>0$。由拉格朗日中值定理，$u_{n+1}-u_n=f^{\prime }({\xi }_n)$，${\xi }_n\in (n,n+1)$；因 $f^{\prime }$ 递增，$f^{\prime }({\xi }_n)\ge f^{\prime }({\xi }_1)=f(2)-f(1)=u_2-u_1>0$，故 $u_n\ge u_1+(n-1)(u_2-u_1)\to +\infty$，$\{u_n\}$ 必发散。

排除其余： 取 $f(x)=-\ln x$（$f^{\prime \prime }=\frac{1}{x^2}>0$），$u_1=0>u_2=-\ln 2$ 但 $u_n=-\ln n\to -\infty$ 发散，排除 (A)；取 $f(x)=\frac{1}{x^2}$（$f^{\prime \prime }>0$），$u_1=1>u_2=\frac{1}{4}$ 但 $u_n\to 0$ 收敛，排除 (B)；取 $f(x)=x^3$（在 $(0,+\infty )$ 上 $f^{\prime \prime }=6x>0$），$u_1=1<u_2=8$ 但 $u_n\to +\infty$ 发散，排除 (C)。

综上，应选 D。