2007 年考研数学（一） 第 4 题

这类“下列命题错误的是”最有效的办法是：正确的用极限与连续的推理确认，错误的用反例击破。核心区分点在于 $\frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 反映的是“对称差商”，它对像 $|x|$ 这样的函数也可能存在极限，却不能保证 $f^{\prime }(0)$ 存在。想到 $f(x)=|x|$ 这个经典反例即破题。

本题考查连续与可导的概念，找出错误命题。 已知 $f$ 在 $x=0$ 处连续。

(A) 正确：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}$ 存在而分母趋 $0$，故分子必趋 $0$，$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$，由连续性 $f(0)=0$。

(B) 正确：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在，同理 $\underset{x\to 0}{\lim }[f(x)+f(-x)]=0$，由连续性该极限 $=2f(0)$，故 $f(0)=0$。

(C) 正确：由 (A) 知 $f(0)=0$，于是 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime }(0)$，导数存在。

(D) 错误：取 $f(x)=|x|$，它在 $x=0$ 连续，$\frac{f(x)-f(-x)}{x}=\frac{|x|-|x|}{x}=0$，极限存在为 $0$，但 $|x|$ 在 $x=0$ 不可导，$f^{\prime }(0)$ 不存在。故 (D) 不成立，应选 D。