2007 年考研数学（一） 第 3 题

看到“变限积分 + 图形对称”就应先定 $f$ 的奇偶性：图中 $f$ 是奇函数，于是 $F$ 为偶函数，$F(-3)=F(3)$、$F(-2)=F(2)$，四个选项立刻能对照。剩下只需用几何意义把 ${\int }_0^2$、${\int }_2^3$ 算成半圆面积（注意上/下半圆定正负号），无需真正求原函数。

本题考查定积分的几何意义与奇偶性。 由图知 $y=f(x)$ 是奇函数，故 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ 为偶函数，$F(-3)=F(3)$，$F(-2)=F(2)$。

由定积分的几何意义（$x$ 轴上方取正面积、下方取负面积）：$[0,2]$ 上是直径 $2$、半径 $1$ 的上半圆，故 $F(2)={\int }_0^{2}fdt=\frac{1}{2}\pi \cdot 1^2=\frac{\pi }{2}$。

$[2,3]$ 上是直径 $1$、半径 $\frac{1}{2}$ 的下半圆，故 $F(3)=F(2)-\frac{1}{2}\pi (\frac{1}{2}{)}^2=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{8}=\frac{3\pi }{8}$。

于是 $F(-3)=F(3)=\frac{3\pi }{8}=\frac{3}{4}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3}{4}F(2)$，应选 C。