2007 年考研数学（一） 第 2 题

渐近线题的通病是漏算方向。这里 $\frac{1}{x}$ 提示 $x=0$ 处可能有铅直渐近线；而 $\ln (1+e^x)$ 在 $x\to -\infty$ 与 $x\to +\infty$ 行为完全不同——一端趋于常数（给水平渐近线），另一端近似 $x$（给斜渐近线）。所以要把两个无穷方向分开讨论，关键变形 $\ln (1+e^x)=x+\ln (1+e^{-x})$ 让斜渐近线 $y=x$ 显形。

本题考查曲线渐近线的求法（铅直、水平、斜渐近线三类）。记 $f(x)=\frac{1}{x}+\ln (1+e^x)$。

铅直渐近线： $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\infty$，故 $x=0$ 是铅直渐近线。

水平渐近线： 当 $x\to -\infty$ 时 $\frac{1}{x}\to 0$、$\ln (1+e^x)\to 0$，故 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0$，$y=0$ 是水平渐近线。

斜渐近线： 当 $x\to +\infty$ 时，$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$，且 $\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-x]=\underset{x\to +\infty }{\lim }(\frac{1}{x}+\ln \frac{1+e^x}{e^x})=0$，故 $y=x$ 是斜渐近线。

三条渐近线互不相同，共 $3$ 条，应选 D。