2007 年考研数学（一） 第 1 题

看到“等价无穷小”就应把每个表达式用标准等价式换成最简单的幂 $c{x}^{\alpha }$，再看谁与 $\sqrt{x}$ 完全一致。关键在于既要同阶又要系数为 $1$：像 $1-e^{\sqrt{x}}\sim -\sqrt{x}$ 虽同阶但符号相反就被排除。对含 $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$ 的选项，先拆成两个对数之差再各自等价，会发现 $x$ 相对 $\sqrt{x}$ 是高阶可忽略。

本题考查等价无穷小的判定。 当 $x\to 0^{+}$ 时，$\sqrt{x}$ 是标准无穷小，逐一比较各选项与 $\sqrt{x}$ 的阶。

对 (B)：$\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}=\ln (1+x)-\ln (1-\sqrt{x})$。由 $\ln (1+x)\sim x$、$\ln (1-\sqrt{x})\sim -\sqrt{x}$，得 $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}\sim x+\sqrt{x}\sim \sqrt{x}$（因 $x=o(\sqrt{x})$），与 $\sqrt{x}$ 等价。

其余选项阶数不符：$1-e^{\sqrt{x}}\sim -\sqrt{x}$（相差符号，比值趋 $-1$，不等价）；$\sqrt{1+\sqrt{x}}-1\sim \frac{1}{2}\sqrt{x}$；$1-\cos \sqrt{x}\sim \frac{1}{2}x$，均与 $\sqrt{x}$ 不等价。

综上，应选 B。