2007 年考研数学（一） 第 21 题

公共解问题的标准转化：联立两组方程成 ③，公共解即 ③ 的解。对增广矩阵行化简，关键因子 $(a-1)(a-2)$ 自然把参数分成 $a=1$、$a=2$、其余三类；由 $r(C)$ 与 $r(\bar{C})$ 是否相等判断有无解。分类讨论 + 秩比较是这类含参方程组的通法。

本题考查两方程组的公共解。 ① 与 ② 有公共解 $⟺$ 将 ① 的三个方程与 ② 联立所得方程组 ③ 有解。对其增广矩阵作初等行变换：

$\bar{C}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& 2& a& 0\\ 1& 4& a^2& 0\\ 1& 2& 1& a-1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& a-1& 0\\ 0& 0& (a-1)(a-2)& 0\\ 0& 0& 1-a& a-1\end{array}\right).$

当 $a=1$： 方程组 ③ 成为齐次方程组，系数矩阵秩为 $2$，公共解为 $X=C(-1,0,1{)}^T$（$C$ 为任意常数）。

当 $a\ne 1$： 上式化为 $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& a-1& 0\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& a-2\end{array}\right)$。若 $a\ne 2$，则 $r(C)\ne r(\bar{C})$，无公共解；若 $a=2$，则 $r(C)=r(\bar{C})=3$，有唯一公共解 $X=(0,1,-1{)}^T$。

综上： 当 $a=1$ 时，公共解为 $X=C(-1,0,1{)}^T$（$C$ 为任意常数）；当 $a=2$ 时，唯一公共解为 $X=(0,1,-1{)}^T$；其余 $a$ 无公共解。