2007 年考研数学（一） 第 22 题

核心事实：矩阵多项式 $g(A)$ 与 $A$ 共享特征向量，特征值按 $g(\lambda )$ 变换。于是 ${\alpha }_1$ 仍是 $B$ 的特征向量，特征值 $g(1)=-2$；另两个 $g(2)=g(-2)=1$ 成重根。利用实对称阵不同特征值的特征向量正交，解 $x_1-x_2+x_3=0$ 得另两个特征向量，最后 $B=P\Lambda P^{-1}$ 还原矩阵。抓住 $g(A)$ 与 $A$ 同特征向量是入口。

本题考查实对称矩阵的特征值、特征向量与由谱构造矩阵。 因 $A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1={\alpha }_1$，故 $B{\alpha }_1=(A^5-4A^3+E){\alpha }_1=(1^5-4\cdot 1^3+1){\alpha }_1=-2{\alpha }_1$，即 ${\alpha }_1$ 是 $B$ 的属于特征值 ${\mu }_1=-2$ 的特征向量。

（I） 令 $g(\lambda )={\lambda }^5-4{\lambda }^3+1$，则 $B$ 的另两个特征值 ${\mu }_2=g(2)=32-32+1=1$，${\mu }_3=g(-2)=-32+32+1=1$。因 $A$ 实对称，$B=A^5-4A^3+E$ 也实对称，其属于 ${\mu }_2={\mu }_3=1$ 的特征向量与 ${\alpha }_1$ 正交，即满足 $x_1-x_2+x_3=0$，可取 ${\alpha }_2=(1,1,0{)}^T,{\alpha }_3=(-1,0,1{)}^T$。

故 $B$ 的属于 ${\mu }_1=-2$ 的全部特征向量为 $k_1{\alpha }_1(k_1\ne 0)$；属于 ${\mu }_2={\mu }_3=1$ 的全部特征向量为 $k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3(k_2,k_3$ 不全为零$)$。

（II） 取 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$，则 $P^{-1}BP=\mathrm{diag}(-2,1,1)$，故 $B=P\mathrm{diag}(-2,1,1)P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right).$