2007 年考研数学（一） 第 23 题

二维连续型：概率 = 密度在相应区域上的积分，先画区域再定限是通法。第一问对 $\{x>2y\}$ 与正方形之交积分即可。第二问求和的分布用分布函数法最稳妥：$F_Z(z)$ 按直线 $x+y=z$ 扫过正方形的两个阶段（$0<z<1$ 切出三角、$1\le z<2$ 切出五边形）分段积分，求导得分段密度。分段点 $z=1$ 源于区域几何的变化。

本题考查二维连续型随机变量的概率与和的分布。

（I） $P\{X>2Y\}={\iint }_{x>2y}f(x,y)dxdy={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{x/2}(2-x-y)dy={\int }_0^1(x-\frac{5x^2}{8})dx=\frac{1}{2}-\frac{5}{24}=\frac{7}{24}.$

（II） 用分布函数法。$F_Z(z)=P\{X+Y\le z\}$。当 $z<0$ 时 $F_Z(z)=0$；当 $0\le z<1$ 时 $F_Z(z)={\int }_0^{z}dx{\int }_0^{z-x}(2-x-y)dy=z^2-\frac{1}{3}{z}^3$；当 $1\le z<2$ 时 $F_Z(z)=1-{\int }_{z-1}^{1}dx{\int }_{z-x}^1(2-x-y)dy=1-\frac{1}{3}(2-z{)}^3$；当 $z\ge 2$ 时 $F_Z(z)=1$。

对 $z$ 求导得概率密度 $f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}2z-z^2,& 0<z<1,\\ z^2-4z+4,& 1\le z<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$