2007 年考研数学（一） 第 24 题

矩估计的标准动作：用一阶矩 $E(X)=\bar{X}$ 反解参数，$E(X)$ 分段积出为 $\frac{\theta }{2}+\frac{1}{4}$，即得 $\hat{\theta }$。判无偏则算 $E(4{\bar{X}}^2)$，关键用 $E({\bar{X}}^2)=D(\bar{X})+[E(\bar{X}){]}^2$ 且 $D(\bar{X})=D(X)/n$——正是这个方差项让结果比 ${\theta }^2$ 多出正的余项，故有偏。想到用“方差 + 均值平方”拆 $E({\bar{X}}^2)$ 是要害。

本题考查矩估计与无偏估计。

（I） $E(X)={\int }_0^{\theta }x\cdot \frac{1}{2\theta }dx+{\int }_{\theta }^{1}x\cdot \frac{1}{2(1-\theta )}dx=\frac{\theta }{4}+\frac{1+\theta }{4}=\frac{\theta }{2}+\frac{1}{4}.$ 令 $E(X)=\overline{X}$，解得矩估计量 $\hat{\theta }=2\overline{X}-\frac{1}{2}$。

（II） 先算 $E(X^2)={\int }_0^{\theta }{x}^2\cdot \frac{1}{2\theta }dx+{\int }_{\theta }^1{x}^2\cdot \frac{1}{2(1-\theta )}dx=\frac{{\theta }^2}{6}+\frac{1+\theta +{\theta }^2}{6}=\frac{{\theta }^2}{3}+\frac{\theta }{6}+\frac{1}{6}$，从而 $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=\frac{{\theta }^2}{12}-\frac{\theta }{12}+\frac{5}{48}>0$。

由 $E(\overline{X})=E(X)=\frac{\theta }{2}+\frac{1}{4}$，$D(\overline{X})=\frac{D(X)}{n}$，得 $E(4{\overline{X}}^2)=4\{D(\overline{X})+[E(\overline{X}){]}^2\}=4(\frac{\theta }{2}+\frac{1}{4}{)}^2+\frac{4}{n}D(X)={\theta }^2+\theta +\frac{1}{4}+\frac{4}{n}D(X).$

由于 $\theta +\frac{1}{4}+\frac{4}{n}D(X)>0$，故 $E(4{\overline{X}}^2)>{\theta }^2$，即 $E(4{\overline{X}}^2)\ne {\theta }^2$，所以 $4{\overline{X}}^2$ 不是 ${\theta }^2$ 的无偏估计量。