2007 年考研数学（一） 第 20 题

“幂级数收敛且和函数满足 ODE”提示用待定系数法：代入、对齐幂次、令系数为零得递推 $a_{n+2}=\frac{2}{n+1}{a}_n$。第二问由 $a_0=0$ 判定偶项全零，奇项递推解得 $a_{2n+1}=1/n!$，再认出 $\sum \frac{(x^2{)}^n}{n!}=e^{x^2}$，凑出 $y=x{e}^{x^2}$。识别 $1/n!$ 对应指数函数是收尾关键。

本题考查幂级数解微分方程并求和函数。 设 $y(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$，则 $y^{\prime }=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$，$y^{\prime \prime }=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_n{x}^{n-2}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)(n+2)a_{n+2}{x}^n$。由 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$ 得 $a_0=0,a_1=1$。

（I） 代入 $y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }-4y=0$：$\sum _{n=0}^{\infty }[(n+1)(n+2)a_{n+2}-2n{a}_n-4a_n]x^n=\sum _{n=0}^{\infty }[(n+1)(n+2)a_{n+2}-2(n+2)a_n]x^n=0.$ 由幂级数系数全为零得 $(n+1)(n+2)a_{n+2}=2(n+2)a_n$，即 $a_{n+2}=\frac{2}{n+1}{a}_n(n=0,1,2,\cdots )$。

（II） 由 $a_0=0$ 及递推得偶数项全为零：$a_{2k}=0$。由 $a_1=1$ 及 $a_{2n+1}=\frac{2}{2n}{a}_{2n-1}=\frac{1}{n}{a}_{2n-1}$，归纳得 $a_{2n+1}=\frac{1}{n!}$。

故 $y(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{n!}=x\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(x^2{)}^n}{n!}=x{e}^{x^2}.$