2007 年考研数学（一） 第 19 题

出现“证明存在 $\xi$ 使二阶导相等”就构造 $h=f-g$，把问题变成证 $h^{\prime \prime }$ 有零点。要用两次罗尔就需要 $h$ 的三个零点：端点已给两个，第三个由“相等的最大值”制造——在 $f$ 的最大值点 $h\ge 0$、在 $g$ 的最大值点 $h\le 0$，零点定理保证中间存在 $h=0$。构造辅助函数并制造第三个零点是本题的灵魂。

本题考查用罗尔定理证明 $f^{\prime \prime }(\xi )=g^{\prime \prime }(\xi )$。 令 $h(x)=f(x)-g(x)$，则 $h$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 内二阶可导，且 $h(a)=f(a)-g(a)=0$，$h(b)=f(b)-g(b)=0$。只需证存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $h^{\prime \prime }(\xi )=0$。

设 $f,g$ 在 $(a,b)$ 内相等的最大值为 $M$，记 $M=f(x_1)=\max f$，$M=g(x_2)=\max g$，$x_1,x_2\in (a,b)$，不妨设 $x_1\le x_2$。

情形一（$x_1=x_2$）： 此时 $h(x_1)=f(x_1)-g(x_1)=M-M=0$。于是 $h(a)=h(x_1)=h(b)=0$，对 $[a,x_1]$、$[x_1,b]$ 分别用罗尔定理，存在 ${\xi }_1\in (a,x_1),{\xi }_2\in (x_1,b)$ 使 $h^{\prime }({\xi }_1)=h^{\prime }({\xi }_2)=0$。

情形二（$x_1<x_2$）： $h(x_1)=M-g(x_1)\ge 0$，$h(x_2)=f(x_2)-M\le 0$。若某端等于 $0$ 即归入情形一；否则 $h(x_1)>0>h(x_2)$，由零点定理存在 $c\in (x_1,x_2)$ 使 $h(c)=0$，从而 $h(a)=h(c)=h(b)=0$，同样用两次罗尔定理得 ${\xi }_1\in (a,c),{\xi }_2\in (c,b)$ 使 $h^{\prime }({\xi }_1)=h^{\prime }({\xi }_2)=0$。

两种情形下，再对 $h^{\prime }$ 在 $[{\xi }_1,{\xi }_2]$ 上用罗尔定理，存在 $\xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)\subset (a,b)$ 使 $h^{\prime \prime }(\xi )=0$，即 $f^{\prime \prime }(\xi )=g^{\prime \prime }(\xi )$。证毕。