2007 年考研数学（一） 第 18 题

见“对坐标的曲面积分 + 曲面不封闭”就想到补面 + 高斯公式，把面积分转成好算的三重积分。此题散度恰为 $3z$，很干净；按 $z$ 分层、每层椭圆面积 $2\pi (1-z)$，积分一步到位。最后补面 $z=0$ 上仅剩 $\iint 3xydxdy$，被积函数对 $x$ 为奇、区域对称，积分为零。补面再减回补面是核心套路。

本题考查曲面积分（高斯公式）。 $\Sigma$ 不封闭，补充底面 ${\Sigma }_0:z=0(x^2+\frac{y^2}{4}\le 1)$ 取下侧，使 $\Sigma +{\Sigma }_0$ 构成封闭曲面外侧，所围区域记为 $\Omega$。

用高斯公式： 记 $P=xz,Q=2zy,R=3xy$，则 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=z+2z+0=3z$，故 $\iint ={\iiint }_{\Omega }3zdV=3{\int }_0^{1}z\left({\iint }_{x^2+\frac{y^2}{4}\le 1-z}dxdy\right)dz.$

内层椭圆 $x^2+\frac{y^2}{4}\le 1-z$ 的面积为 $\pi \cdot \sqrt{1-z}\cdot 2\sqrt{1-z}=2\pi (1-z)$，于是 $3{\int }_0^{1}z\cdot 2\pi (1-z)dz=6\pi {\int }_0^1(z-z^2)dz=6\pi \cdot \frac{1}{6}=\pi .$

减去补充面： 在 ${\Sigma }_0$ 上 $z=0$，前两项为零，${\iint }_{{\Sigma }_0}xzdydz+2zydzdx+3xydxdy={\iint }_{{\Sigma }_0}3xydxdy=-3{\iint }_{x^2+\frac{y^2}{4}\le 1}xydxdy=0$（被积函数关于 $x$ 为奇函数）。

故 $I=\pi -0=\pi$。