2007 年考研数学（一） 第 17 题

闭区域最值 = 内部驻点 + 边界极值 + 角点，逐一枚举再比较，这是通法。此题边界分两段：圆弧用三角参数化把 $f$ 变成关于 ${\sin }^{2}t$ 的二次式（配方即得极值），直径段 $y=0$ 上 $f=x^2$ 一望而知。系统枚举、避免遗漏是拿全分的关键。

本题考查多元函数在有界闭区域上的最值。 $D$ 为上半圆盘。分别在区域内部、圆弧边界、直径边界求驻点及边界极值，再比较。

内部驻点： $f_x=2x(1-y^2)=0,f_y=2y(2-x^2)=0$。在开区域内（$y>0$）解得 $x=\pm \sqrt{2},y=1$（此时 $x^2+y^2=3<4$），$f(\pm \sqrt{2},1)=2+2-2=2$。

圆弧边界 $x^2+y^2=4(y\ge 0)$： 令 $x=2\cos t,y=2\sin t(0\le t\le \pi )$，则 $f=4{\cos }^{2}t+8{\sin }^{2}t-16{\sin }^{2}t(1-{\sin }^{2}t)=16({\sin }^{2}t-\frac{3}{8}{)}^2+\frac{7}{4}$。当 ${\sin }^{2}t=1$（点 $(0,2)$）取最大 $8$，当 ${\sin }^{2}t=\frac{3}{8}$ 取 $\frac{7}{4}$，端点 $(\pm 2,0)$ 取 $4$。

直径边界 $y=0(-2\le x\le 2)$： $f(x,0)=x^2$，在 $x=0$ 处取 $0$，端点 $(\pm 2,0)$ 取 $4$。

比较所有候选值 $\{2,8,\frac{7}{4},4,0\}$，得最大值 $M=f(0,2)=8$，最小值 $m=f(0,0)=0$。