2007 年考研数学（一） 第 16 题

“在区间上随机取数”是几何概型的标志：概率 = 面积比。把条件 $|x-y|<\frac{1}{2}$ 画在单位正方形里，正面区域是六边形不好算，转而算补集——两个腰长 $\frac{1}{2}$ 的直角三角形，面积共 $\frac{1}{4}$，于是答案 $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。取补集是这类面积题的常用简化。

本题考查几何概型。 设两数为 $X,Y$，则 $(X,Y)$ 在单位正方形 $D=\{0<x<1,0<y<1\}$ 上服从均匀分布，所求概率等于区域 $\{|x-y|<\frac{1}{2}\}$ 的面积。

$D$ 内满足 $|x-y|\ge \frac{1}{2}$ 的部分是两个直角边长为 $\frac{1}{2}$ 的三角形，总面积为 $2\cdot \frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{4}$。

故 $P\{|X-Y|<\frac{1}{2}\}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。