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2007 年考研数学（一） 第 15 题
填空题 · 4 分
设矩阵 ，则 的秩为 ______.
提示 1
是“上移一位”的移位矩阵，先想 的效果：把那条 往右上方推 位。提示 2
可直接算 、 观察非零元的位置，不必套用一般理论。提示 3
秩等于线性无关行（列）数，从 中非零元的个数即可读出。答案与详解
答案
思路（为什么这么做）
这类由次对角线全 构成的矩阵是幂零“移位算子”，每乘一次 就把那条 整体上移一格。算到 只剩 位置一个 ，其余全零，秩自然为 。抓住“乘 = 移位”这个直觉，比硬乘更快。
解答
本题考查矩阵的幂与秩。 是 阶矩阵，仅主对角线上方第一条次对角线为 ，其余为 （幂零矩阵）。
相当于把这条 向右上方平移 位：，只有 位置为 。
故 。
相当于把这条 向右上方平移 位：，只有 位置为 。
故 。