2007 年考研数学（一） 第 14 题

曲面 $|x|+|y|+|z|=1$ 高度对称，这正是全题的钥匙。先用奇偶对称把 $x$ 项消掉；再用轮换对称把 $|y|$ 替换成 $\frac{1}{3}(|x|+|y|+|z|)$，而它在 $\Sigma$ 上恒等于 $\frac{1}{3}$，于是积分退化为求曲面面积。最后认出 $\Sigma$ 是边长 $\sqrt{2}$ 的正八面体表面即可收尾。

本题考查第一类曲面积分的对称性。 $\Sigma :|x|+|y|+|z|=1$ 关于各坐标面对称。由对称性 $\iint xdS=0$，故 $\iint (x+|y|)dS=\iint |y|dS$。

再由 $x,y,z$ 地位对称，$\iint |y|dS=\frac{1}{3}\iint (|x|+|y|+|z|)dS=\frac{1}{3}\iint 1dS=\frac{1}{3}S$，其中 $S$ 为 $\Sigma$ 的面积。

$\Sigma$ 是正八面体表面，共 $8$ 个边长为 $\sqrt{2}$ 的正三角形，每个面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{2}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $S=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$。

于是原积分 $=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。