2007 年考研数学（一） 第 13 题

标准二阶常系数非齐次线性方程。识别信号：右端 $e^{2x}$ 且指数 $2$ 不是特征根 $\{1,3\}$，所以特解直接设 $a{e}^{2x}$（若 $2$ 是单根才需乘 $x$）。齐次解由特征根写出，代入定 $a$，叠加即得通解。判断“$2$ 是否为特征根”决定要不要补乘 $x$，是关键一步。

本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程。 齐次方程 $y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+3y=0$ 的特征方程 ${\lambda }^2-4\lambda +3=0$，根为 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=3$，齐次通解为 $C_1{e}^x+C_2{e}^{3x}$。

因 $2$ 不是特征根，设特解 $y_0=a{e}^{2x}$，代入原方程得 $(4-8+3)a{e}^{2x}=-a{e}^{2x}=2e^{2x}$，故 $a=-2$，特解 $y_0=-2e^{2x}$。

故原方程通解为 $y=C_1{e}^x+C_2{e}^{3x}-2e^{2x}$（$C_1,C_2$ 为任意常数）。