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2007 年考研数学（一）第 12 题

填空题 · 4 分

设

f (u, v)

为二元可微函数，

z = f (x^{y}, y^{x})

，则

\frac{\partial z}{\partial x} =

______.

提示 1

这是多元复合函数求偏导：记

u = x^{y}

、

v = y^{x}

，用链式法则

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} \frac{\partial u}{\partial x} + f_{2}^{'} \frac{\partial v}{\partial x}

。

提示 2

对

x

求偏导时把

y

当常数；

u = x^{y}

对

x

是幂函数、

v = y^{x}

对

x

是指数函数，两者求导公式不同，别混。

提示 3

幂函数

x^{y}

对

x

求导得

y x^{y - 1}

；指数函数

y^{x}

对

x

求导得

y^{x} ln y

。

答案与详解

答案 $y x^{y - 1} f_{1}^{'} + y^{x} ln y f_{2}^{'}$

思路（为什么这么做）

核心是分清

x^{y}

与

y^{x}

对

x

求导的类型：前者底是变量

x

、指数

y

为常数，按幂函数求导；后者底

y

为常数、指数

x

为变量，按指数函数求导（带

ln y

）。用外函数偏导

f_{1}^{'}, f_{2}^{'}

乘上各自内层偏导即得，链式法则一挥而就。

解答

本题考查多元复合函数求偏导。 记

u = x^{y}, v = y^{x}

，把

y

视为常数对

x

求偏导。

\frac{\partial u}{\partial x} = y x^{y - 1}

，

\frac{\partial v}{\partial x} = y^{x} ln y

，故

\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}^{'} \cdot y x^{y - 1} + f_{2}^{'} \cdot y^{x} ln y = y x^{y - 1} f_{1}^{'} + y^{x} ln y f_{2}^{'} .

考点：多元复合函数求导法则、偏导数

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