2007 年考研数学（一） 第 11 题

破题信号是 $e^{1/x}$：指数里的 $1/x$ 提示代换 $t=1/x$。代换后把 $\frac{1}{x^3}dx$ 拆成 $\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x^2}dx=-tdt$，积分变成 $\int t{e}^{t}dt$，正是分部积分一步可解的形式。关键是把 $\frac{1}{x^3}$ 拆成 $\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x^2}$ 以凑出 $d(1/x)$。

本题考查定积分的换元与分部积分。 令 $t=\frac{1}{x}$，则 $d\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}dx$，$\frac{1}{x^3}dx=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x^2}dx=-tdt$；当 $x:1\to 2$ 时 $t:1\to \frac{1}{2}$。

于是 ${\int }_1^2\frac{1}{x^3}{e}^{1/x}dx={\int }_{1/2}^{1}t{e}^{t}dt=(t-1)e^t{|}_{1/2}^1=0-(-\frac{1}{2}\sqrt{e})=\frac{\sqrt{e}}{2}.$