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2007 年考研数学（一）第 10 题

选择题 · 4 分

设随机变量

(X, Y)

服从二维正态分布，且

X

与

Y

不相关，

f_{X} (x), f_{Y} (y)

分别表示

X, Y

的概率密度，则在

Y = y

的条件下，

X

的条件概率密度

f_{X ∣ Y} (x ∣ y)

为（　　）

A $f_{X} (x)$
B $f_{Y} (y)$
C $f_{X} (x) f_{Y} (y)$
D $\frac{f _{X} ( x )}{f _{Y} ( y )}$

提示 1

对“二维正态分布”，不相关有一个比一般情形更强的特殊结论，先想它能推出什么。

提示 2

若

X, Y

独立，则联合密度

f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

，代入条件密度定义

f_{X ∣ Y} = f (x, y) / f_{Y} (y)

。

提示 3

条件密度是对给定

y

、关于

x

的密度；从这一点也能排除只含

y

或形式不对的选项。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

关键知识点：二维正态下“不相关

\Leftrightarrow

独立”（一般分布不成立，正态是特例）。一旦独立，

f (x, y) = f_{X} f_{Y}

，条件密度

f_{X ∣ Y} = f (x, y) / f_{Y} (y) = f_{X} (x)

。识别出“正态 + 不相关”这个组合是全题的入口。

解答

本题考查二维正态分布的性质。 对二维正态分布，

X

与

Y

不相关

⟺

X

与

Y

相互独立。

由独立性

f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

，故条件概率密度

f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )} = f_{X} (x)

。

应选 A。

考点：随机变量的独立性、边缘分布与条件分布

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