2004 年考研数学（一） 第 7 题

变限积分求阶的通法是'求导降一层'：去掉积分号后用等价无穷小估计被积函数的幂次，求导得到 $x$ 的幂，再'积分回去'阶数加一。关键是别被积分号吓住——求导正是拆开它的钥匙。定出三者的阶数后排序即可。

分析：分别确定三个变限积分作为无穷小量的阶数，阶数越高（趋于零越快）排在越后面。

由变限积分求导，${\alpha }^{\prime }=\cos (x^2)\to 1$，故 $\alpha \sim x$，是 $1$ 阶无穷小。

${\beta }^{\prime }=\tan \sqrt{x^2}\cdot 2x=2x\tan x\sim 2x^2$，故 $\beta \sim \frac{2}{3}{x}^3$，是 $3$ 阶无穷小。

${\gamma }^{\prime }=\sin ((\sqrt{x}{)}^3)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\sim x^{3/2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{x}{2}$，故 $\gamma \sim \frac{1}{4}{x}^2$，是 $2$ 阶无穷小。

阶数由低到高为 $\alpha (1\text{ 阶}),\gamma (2\text{ 阶}),\beta (3\text{ 阶})$，即排在后面的是前一个的高阶无穷小，故次序为 $\alpha ,\gamma ,\beta$，应选 B。