2004 年考研数学（一） 第 8 题

陷阱是把'某点导数为正'误当成'附近单调递增'。导数是极限，能可靠得到的只有保号性——即 $f(x)-f(0)$ 与 $x$ 同号，这只谈两点比较，不谈区间单调。单点导数信息只能用定义/保号性；涉及区间单调需要一整段的导数符号。

分析：由导数定义与极限的保号性判断 $f(x)-f(0)$ 的符号；注意函数在一点导数为正并不能保证在该点某侧邻域内单调。

由导数定义 $f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$。由极限保号性，存在 $\delta >0$，当 $0<|x|<\delta$ 时 $\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$。

于是 $x\in (0,\delta )$ 时 $f(x)-f(0)>0$，即 $f(x)>f(0)$；$x\in (-\delta ,0)$ 时 $f(x)-f(0)<0$，即 $f(x)<f(0)$。故 C 正确，D 错误。

A、B 错误：如 $f(x)=\frac{x}{2}+x^2\sin \frac{1}{x}(x\ne 0),f(0)=0$，有 $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}>0$，但 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 附近变号，$f$ 在 $0$ 的任一侧邻域内都不单调。综上应选 C。