2004 年考研数学（一）第 9 题

选择题 · 4 分

设

n = 1 \sum \infty a_{n}

为正项级数，下列结论中正确的是（　　）

A若 $n \to \infty lim n a_{n} = 0$ ，则级数 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 收敛
B若存在非零常数 $λ$ ，使得 $n \to \infty lim n a_{n} = λ$ ，则级数 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 发散
C若级数 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 收敛，则 $n \to \infty lim n^{2} a_{n} = 0$
D若级数 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 发散，则存在非零常数 $λ$ ，使得 $n \to \infty lim n a_{n} = λ$

提示 1

四个选项都是'某条件成立则收敛/发散'，对的想法证、错的举反例，重点盯

n a_{n}

的极限与级数敛散的关系。

提示 2

若

n a_{n} \to λ \neq = 0

，则

a_{n}

与

\frac{λ}{n}

同阶，联想发散的调和级数

\sum \frac{1}{n}

，这条可用比较判别法证。

提示 3

其余选项各找反例：想想

\frac{1}{n ln n}

、

\frac{1}{n ^{3/2}}

这类'介于中间'的级数如何反驳过强的断言。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

这类'选正确结论'题，主线是把每个陈述与

p

-级数、调和级数比对。

n a_{n} \to λ \neq = 0

等价于

a_{n} \sim \frac{λ}{n}

，天然联系到发散的调和级数，是最容易证成立的一项；其余断言多半'过强'，一个反例即可击破。先锁定最像对的、再用反例排除其它。

解答

分析：正确的结论用比较判别法证明，错误的结论各举一个反例。

B 正确：设

n \to \infty lim n a_{n} = λ > 0

，取

ε_{0} = \frac{λ}{2}

，则存在

N

，当

n > N

时

∣ n a_{n} - λ ∣ < \frac{λ}{2}

，即

n a_{n} > \frac{λ}{2}

，

a_{n} > \frac{λ}{2 n}

。由

\sum \frac{λ}{2 n}

发散及比较判别法知

\sum a_{n}

发散。

A 错：取

a_{n} = \frac{1}{n ln ( n + 1 )}

，则

n a_{n} \to 0

，但

\sum a_{n}

发散。C 错：取

a_{n} = \frac{1}{n ^{3/2}}

，级数收敛，但

n^{2} a_{n} = n \to + \infty

。D 错：取

a_{n} = \frac{1}{ln ( n + 1 )}

，级数发散，但

n a_{n} \to + \infty

，并非有限非零常数。

综上应选 B。

2004 年考研数学（一） 第 9 题