2004 年考研数学（一） 第 10 题

难点是参数 $t$ 既在外限又在内限，直接求导要用莱布尼茨公式且易错。交换次序后 $t$ 只留在最外层上限，内积分还顺手凑出因子 $(x-1)$，问题立刻变成标准的变限积分求导。二次积分里参数出现在内外限，就先换序。

分析：交换二次积分的次序，把 $F(t)$ 化为单积分再对 $t$ 求导。

积分区域为 $1\le y\le t,y\le x\le t$，即三角形 $1\le x\le t,1\le y\le x$。交换次序得 $F(t)={\int }_1^t\mathrm{d}x{\int }_1^{x}f(x)\mathrm{d}y={\int }_1^t(x-1)f(x)\mathrm{d}x$。

由变限积分求导，$F^{\prime }(t)=(t-1)f(t)$，故 $F^{\prime }(2)=(2-1)f(2)=f(2)$，应选 B。