2004 年考研数学（一） 第 11 题

核心是'列变换 ↔ 右乘'这一对应。$\mathbf{A}$ 到 $\mathbf{C}$ 经两次列操作，于是 $\mathbf{C}=\mathbf{A}{\mathbf{E}}_1{\mathbf{E}}_2$，$\mathbf{Q}$ 即两个初等矩阵之积。易错点在乘的左右和先后：列变换一律右乘，先做的靠左。写对两个初等矩阵再相乘即可，不必真解 $\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{C}$。

分析：对矩阵作列初等变换，相当于右乘相应的初等矩阵。

交换第 $1,2$ 列：$\mathbf{B}=\mathbf{A}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。把第 $2$ 列加到第 $3$ 列：$\mathbf{C}=\mathbf{B}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。

故 $\mathbf{C}=\mathbf{A}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\mathbf{A}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，即 $\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，应选 D。