2004 年考研数学（一） 第 12 题

$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{O}$ 的标准解读之一是秩不等式 $r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})\le n$。两个非零矩阵各自秩 $\ge 1$，于是各自秩都严格小于 $n$，从而 $\mathbf{A}$ 列不满秩（列相关）、$\mathbf{B}$ 行不满秩（行相关）。见到 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{O}$ 就想秩不等式。

分析：设 $\mathbf{A}$ 为 $m\times n$ 矩阵、$\mathbf{B}$ 为 $n\times s$ 矩阵，利用秩不等式 $r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})\le n$。

由 $\mathbf{AB}=\mathbf{O}$ 得 $r(\mathbf{A})+r(\mathbf{B})\le n$。又 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 非零，故 $r(\mathbf{A})\ge 1,r(\mathbf{B})\ge 1$，从而 $r(\mathbf{A})<n$，$r(\mathbf{B})<n$。

$\mathbf{A}$ 有 $n$ 列而 $r(\mathbf{A})<n$，其列向量组线性相关；$\mathbf{B}$ 有 $n$ 行而 $r(\mathbf{B})<n$，其行向量组线性相关。故应选 A。