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2004 年考研数学（一）第 13 题

选择题 · 4 分

设随机变量

X

服从正态分布

N (0, 1)

，对给定的

α (0 < α < 1)

，数

u_{α}

满足

P {X > u_{α}} = α

。若

P {∣ X ∣ < x} = α

，则

x

等于（　　）

A $u_{\frac{α}{2}}$
B $u_{1 - \frac{α}{2}}$
C $u_{\frac{1 - α}{2}}$
D $u_{1 - α}$

提示 1

u_{α}

的定义是'右侧尾部概率为

α

的分位点'，先把所求

P {∣ X ∣ < x}

也化成一个右侧尾概率。

提示 2

利用标准正态关于原点的对称性，把

P {∣ X ∣ < x}

拆成

1 - 2 P {X \geq x}

。

提示 3

解出

P {X \geq x} = \frac{1 - α}{2}

，再对照

u

的定义读出下标。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

分位点题的通法是'把目标概率写成

P {X > 某数} = 下标

'的形式再直接读下标。这里靠对称性把双侧概率

P {∣ X ∣ < x}

转成上侧概率，算出上侧尾部恰为

\frac{1 - α}{2}

，于是下标就是

\frac{1 - α}{2}

。关键是分位点定义与对称性的配合。

解答

分析：利用标准正态分布关于原点的对称性，把

P {∣ X ∣ < x}

转化为上侧概率。

P {∣ X ∣ < x} = 1 - P {∣ X ∣ \geq x} = 1 - 2 P {X \geq x} = α

，故

P {X \geq x} = \frac{1 - α}{2}

。

又

P {X > u_{α}} = α

是上侧分位数的定义，对照得

x = u_{\frac{1 - α}{2}}

，应选 C。

考点：常见连续分布（均匀、指数、正态）

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