2004 年考研数学（一） 第 14 题

样本均值 $Y$ 里含 $X_1$，所以 $X_1$ 与 $Y$ 并不独立，$\mathrm{Cov}(X_1,Y)\ne 0$，正是这一项撑起正确选项。方法就是协方差双线性展开 + 独立去交叉项；C、D 的错误多来自忘了 $2\mathrm{Cov}$ 这个交叉项。涉及均值与分量的关系，必用协方差展开。

分析：利用协方差的双线性性和独立性 $\mathrm{Cov}(X_1,X_i)=0(i\ne 1)$。

$\mathrm{Cov}(X_1,Y)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\mathrm{Cov}(X_1,X_i)=\frac{1}{n}\mathrm{Cov}(X_1,X_1)=\frac{1}{n}D(X_1)=\frac{{\sigma }^2}{n}$，故 A 正确，B 错误。

又 $D(Y)=\frac{{\sigma }^2}{n}$，于是 $D(X_1+Y)={\sigma }^2+\frac{{\sigma }^2}{n}+2\cdot \frac{{\sigma }^2}{n}=\frac{n+3}{n}{\sigma }^2$，$D(X_1-Y)={\sigma }^2+\frac{{\sigma }^2}{n}-2\cdot \frac{{\sigma }^2}{n}=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2$，故 C、D 均错。应选 A。