2004 年考研数学（一） 第 15 题

看到'两个函数值之差比自变量之差'（差商结构），几乎就是拉格朗日中值定理的信号。除以 $b-a$ 把结论化成 $f^{\prime }(c)$ 的形式后，剩下的是对 $f^{\prime }(c)=\frac{2\ln c}{c}$ 作估计——用它在区间上的单调性放缩到端点，正好凑出 $\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}$。构造 $f={\ln }^{2}x$ 是把结论'反读'出来的。

分析：不等式两边同除 $b-a>0$，化为 $\frac{{\ln }^{2}b-{\ln }^{2}a}{b-a}>\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}$，对 $f(x)={\ln }^{2}x$ 用拉格朗日中值定理即可。

令 $f(x)={\ln }^{2}x$，则 $f^{\prime }(x)=\frac{2\ln x}{x}$。由拉格朗日中值定理，存在 $c\in (a,b)$ 使 $\frac{{\ln }^{2}b-{\ln }^{2}a}{b-a}=\frac{2\ln c}{c}$。

令 $\phi (x)=\frac{2\ln x}{x}$，则 ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{2(1-\ln x)}{x^2}<0(x>\mathrm{e})$，故 $\phi$ 在 $(\mathrm{e},{\mathrm{e}}^2)$ 上单调减少。由 $c<b<{\mathrm{e}}^2$ 得 $\phi (c)>\phi ({\mathrm{e}}^2)=\frac{2\cdot 2}{{\mathrm{e}}^2}=\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}$。

于是 $\frac{{\ln }^{2}b-{\ln }^{2}a}{b-a}=\frac{2\ln c}{c}>\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}$，即 ${\ln }^{2}b-{\ln }^{2}a>\frac{4}{{\mathrm{e}}^2}(b-a)$，证毕。