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2004 年考研数学（一）第 16 题

解答题 · 11 分

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为

9000 kg

的飞机，着陆时的水平速度为

700 km/h

。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为

k = 6.0 \times 1 0^{6}

）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注：

kg

表示千克，

km/h

表示千米/小时。）

提示 1

先由牛顿第二定律列出速度满足的微分方程（阻力为

- k v

）。

提示 2

要的是'距离'而不是'时间'，用链式技巧

\frac{d v}{d t} = v \frac{d v}{d x}

把方程从对

t

换成对

x

。

提示 3

换元后

v

约掉，变量分离积分得

x

与

v

的关系，令

v \to 0

求最长距离；注意单位换算。

答案与详解

答案 $1.05 km$

思路（为什么这么做）

应用题的关键翻译是'最长距离'对应速度降到

0

。方程本按时间列出，但问的是位移，于是用

\frac{d v}{d t} = v \frac{d v}{d x}

换掉时间——这一步让

v

恰好约去，得到

m d v = - k d x

的简单关系，直接积分即可。要位移不要时间，就把

\frac{d}{d t}

变成

v \frac{d}{d x}

。

解答

分析：由牛顿第二定律建立速度所满足的微分方程，用

\frac{d v}{d t} = v \frac{d v}{d x}

把时间换为位移，求

v \to 0

时对应的位移。

设从着陆（

t = 0

）起飞机速度为

v

、位移为

x

。所受阻力为

- k v

，由牛顿第二定律

m \frac{d v}{d t} = - k v

，且

v (0) = 700, x (0) = 0

。

利用

\frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d t} = v \frac{d v}{d x}

，得

m v \frac{d v}{d x} = - k v

，即

m d v = - k d x

。积分得

m v = - k x + C

。

由

x = 0

时

v = 700

得

C = 700 m

，故

x = \frac{m}{k} (700 - v)

。令

v = 0

得最长滑行距离

x = \frac{m}{k} \cdot 700 = \frac{9000 \times 700}{6.0 \times 1 0 ^{6}} = 1.05 (km)

。

即飞机从着陆到停止，最长可以滑行

1.05

千米。

考点：一阶微分方程（可分离、齐次、线性、伯努利）、微分方程的综合与应用

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