2004 年考研数学（一） 第 17 题

信号是被积函数含 $x^3,y^3$ 这类高次，直接投影计算很繁，而散度 $6x^2+6y^2+6z$ 反而规整，提示用高斯公式。代价是要补底面并牢记'补的要减回来'，且补面定向须与外法向一致。套路：不封闭就补面、算三重积分、再扣补面。

分析：$\Sigma$ 不封闭，补上底面 ${\Sigma }_0:z=0(x^2+y^2\le 1)$ 并取下侧，使 $\Sigma +{\Sigma }_0$ 成为封闭曲面的外侧，用高斯公式。

记 ${\Sigma }_0:z=0(x^2+y^2\le 1)$ 取下侧，$\Omega$ 为 $\Sigma +{\Sigma }_0$ 所围区域。由高斯公式 $${\iint }_{\Sigma +{\Sigma }_0}={\iiint }_{\Omega }(6x^2+6y^2+6z)\mathrm{d}v=6{\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z)\mathrm{d}v.$$

用柱面坐标（$0\le z\le 1$，$0\le r\le \sqrt{1-z}$）：$$6{\int }_0^1\mathrm{d}z{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\sqrt{1-z}}r(r^2+z)\mathrm{d}r=12\pi {\int }_0^1\left[\frac{(1-z{)}^2}{4}+\frac{z(1-z)}{2}\right]\mathrm{d}z=3\pi {\int }_0^1(1-z^2)\mathrm{d}z=2\pi .$$

在 ${\Sigma }_0$（$z=0$）上前两项为 $0$，${\iint }_{{\Sigma }_0}3(z^2-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-3{\iint }_{{\Sigma }_0}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。因 ${\Sigma }_0$ 取下侧，${\iint }_{{\Sigma }_0}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\pi$（$D:x^2+y^2\le 1$），故该积分 $=-3\times (-\pi )=3\pi$。

于是 $I={\iint }_{\Sigma +{\Sigma }_0}-{\iint }_{{\Sigma }_0}=2\pi -3\pi =-\pi$。