2004 年考研数学（一） 第 18 题

这是'隐式定义的数列 + 级数敛散'的组合题。根的存在唯一是零点定理加单调性的标准套路；真正的巧思在放缩：把正数 $x_n^n$ 丢掉，从方程直接得 $x_n<\frac{1}{n}$，于是 $x_n^{\alpha }<\frac{1}{n^{\alpha }}$，$\alpha >1$ 的 $p$-级数收敛就一锤定音。数列由方程隐式给出时，用方程本身作估计，别去求 $x_n$。

分析：用零点定理证明正根存在、用单调性证明唯一，再对根作估计 $0<x_n<\frac{1}{n}$，用正项级数比较判别法证明级数收敛。

令 $f(x)=x^n+nx-1$，则 $f(0)=-1<0$，$f(1)=n>0$。由 $f$ 连续及零点定理，存在 $x_n\in (0,1)$ 使 $f(x_n)=0$，即方程有正根 $x_n$。

又 $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}+n>0(x>0)$，$f$ 在 $[0,+\infty )$ 上严格单调增加，故正根唯一。

由 $x_n^n+n{x}_n-1=0$ 得 $x_n=\frac{1}{n}(1-x_n^n)$，而 $0<x_n<1$，故 $0<x_n<\frac{1}{n}$，从而 $0<x_n^{\alpha }<\frac{1}{n^{\alpha }}$。

当 $\alpha >1$ 时 $p$-级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha }}$ 收敛，由正项级数比较判别法知 $\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^{\alpha }$ 收敛，证毕。